Az autodidakta zenész Wright 1965-ben műszaki főiskolásként hozta létre első együttesét Roger Waters basszusgitárossal és Nick Mason dobossal, majd a hozzájuk csatlakozó Syd Barrett gitárossal alkották a Pink Floyd első formációját. Rick billentyűinek fontos szerepe volt a zenekar korai korszakában a lebegő, pszichedelikus hanghatások megteremtésében, különösen olyan nagyobb lélegzetű darabokban, mint az A Saucerful of Secrets, az Atom Heart Mother és az Echoes, amelyek azután születtek, hogy Barrettet Dave Gilmour váltotta fel, de szerzőként és vokalistaként is oroszlánrészt vállalt a Floydban. Az 1969-es Ummagumma című albumon önállóan is bemutatkozott, Sisyphus című darabja a kortárs kamarazene egyik gyöngyszeme.

Az 1975-ös Wish You Were Here album után azonban Waters háttérbe szorította az ő alkotó munkáját, amely végül kenyértörésre vezetett: az 1979-es The Wall után Wright kiszállt a csapatból és csak 1987-ben tért vissza, amikor Gilmour és Mason Waters távozása után újraindították a Pink Floydot.

A billentyűs, aki a nyilvánosságot kerülő Floyd-tagok közül is a leginkább visszahúzódó volt, az együttes 1995-ös feloszlása után ritkán szerepelt. A 2000-es években kétszer is koncertezett együtt Gilmourral, 2005-ben pedig ő is ott volt a Pink Floyd fellépésén a londoni Hyde Parkban a Live 8 koncerten, később azonban úgy nyilatkozott, hogy nem akar tartós "újraegyesülést". Betegségét titokban tartotta, korábbi szürkehályogműtétre is csak úgy derült fény, hogy nem vett részt a Floyd-nak a Rock and Roll Hírességcsarnokba való beiktatásán. Korábban két szólóalbuma jelent meg, élete utolsó heteiben fejezte be a harmadikat, amely instrumentális felvételekből áll.