Mura Péter Budapesten született 1924. június 21-én. Tanulmányait 1933 és 1945 között a budapesti Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskola zongora szakán, 1943/44-ben a Nemzeti Zenedében végezte - mestere Kadosa Pál és Ferencsik János volt. 1945 és 1950 között a Magyar Állami Operaház korrepetitora volt. 1950-től 1953-ig a Gördülő Opera zenei vezetője, 1953 és 1957 között a Miskolci Nemzeti Színház zeneigazgatója, ahol ő szervezte meg az operatársulatot. 1957-58-ban a Varsói Állami Opera karmestere, 1958-tól 1961-ig a bytomi Sziléziai Állami Opera karmestere és a Katowicei Zeneakadémia tanára. 1961-ben a Miskolci Szimfonikus Zenekar alapítója, 1984-ig igazgató karmestere, 1984 és 1987 között az Operaház karmestere, 1986-tól a Zeneakadémia tanára. Liszt-díjas, Érdemes Művész.
Mura 1942-től 1944-ig az OMIKE művészakció operakorrepetitoraként tevékenykedett. Az egyesület a Pesti Izraelita Hitközség Wesselényi utcai Goldmark-termében rendszeres színházi és operaelőadásokra kapott engedélyt. Itt neves színészek és olyan kiváló operaénekesek léphettek színre a német megszállásig, mint Relle Gabriella, Ernster Dezső vagy Ney Dávid.

Mura utolsó munkája a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem operaszakos növendékeinek vizsgaelőadása, egy operaritkaság, Giuseppe Gazzaniga Don Giovannijának fordítása volt; az előadást december 19-én tartották - mondta el az MTI-nek a halálhírt közlő Horák Magda történész, aki az Országos Magyar Izraelita Közművelődési Egyesület (OMIKE) művészakcióinak kutatása során került szinte napi kapcsolatba a karnaggyal.