Pécsett született, gyermekéveit Gyönkön töltötte. Édesapja, aki falusi református lelkészként dolgozott, a hétvégéken színjátszó kört vezetett, amelynek keretében fia is színpadra lépett. 1946 karácsonyán egy vénember szerepében olyan hiteles alakítást nyújtott, hogy még édesanyja sem ismert rá. A középiskolában érettségi előtt Petőfi Sándor János vitézét adták elő, korán elhunyt édesapja a címszerepben láthatta először és utoljára fiát színpadon. Palcsó Sándor később operaénekesként Kukorica Jancsi ruháját öltötte talán legtöbbször magára.

Orvosi egyetemre készült, de elutasították, végül a pótfelvételit követően 1948-ban a pécsi egyetem jogtudományi karán kezdte meg tanulmányait. Származása miatt egy év múlva eltávolították, ezután többféle munkát vállalt, volt segéd- és mezőgazdasági munkás, tisztviselő, gépkocsivezető. Katonai szolgálata egybeesett a Honvéd Művészegyüttes megalakulásával, s a szervezők őt is "kiemelték". Az együttes kariskolájában és férfikarában kapott zenei képzést, s - a hadseregről lévén szó - pontosságra és fegyelmezettségre nevelték, amelynek későbbi karrierjében is nagy hasznát vette.

1952-ben lett a művészegyüttes akkor világszínvonalú férfikarának szólistája, s fellépett első operaelőadásában is, Verdi Rigolettójában Bonza udvaroncot adta. A próbák során megismert Érsek Mária ajánlotta be egy operaházi meghallgatásra. Palcsó Sándor 1957-től 1979-es nyugdíjba vonulásáig volt az Andrássy úti palota magánénekese.

Bár nem végzett színi tanulmányokat, a színpadon elleste a "nagyoktól" a szakma fortélyait. Játékának sajátja a szakmai alázat, a főszerepeken kívül a kisebb alakításokban is tökéletességre törekedett, s az egyik legsokoldalúbb karaktertenorrá vált. Pályafutása alatt több mint hetven szerepet énekelt, többek közt Kacsóh Pongrác János vitéz című daljátékának címszerepét, főszerepeket játszott Wagner, Mozart, Britten, Debussy operáiban. Számos új magyar zenedráma, Szokolay Sándor, Petrovics Emil, Ránki György műveinek ősbemutatóján működött közre, de énekelt operettet is. Műfajtól függetlenül több darabban is partnere volt Házy Erzsébet színpadon és rádiófelvételen egyaránt. Palcsó Sándor utoljára Richard Strauss A rózsalovag című operájában állt az Operaház színpadán, 1986 októberében. Utolsó fellépését évekkel ezelőtt Érd 750. születésnapja alkalmából adta a városban, ahová családjával költözött. A családi hagyományt folytatja fia, aki rendezőként dolgozik és az operabálok egyik főszervezője.

Palcsó Sándort 1963-ban és 1971-ben Liszt Ferenc-díjjal tüntették ki, munkásságát 1974-ben érdemes, hat évvel később kiváló művészi címmel ismerték el.