Szegény sorból származott, 1903. június 6-án született Tifliszben (ma: Tbiliszi). Bár lenyűgözték az örmény, grúz és azeri népdalok, sokáig nem tudott még kottát olvasni sem. Az iskolai zenekarban tubán játszott, és autodidakta módon zongorázni tanult. Az oroszul még törve beszélő Hacsaturján formális zenei képzése csak 19 évesen kezdődött a moszkvai konzervatórium cselló szakán, miközben biológiai tanulmányokat is folytatott. 1929-ben az induló zeneszerző szakra iratkozott át, s harmincévesen vette át diplomáját. Nevét Első szimfóniája tette ismertté, amelyet 1934-ben az örmény szovjetköztársaság megalakulásának tizedik évfordulójára komponált. Nemzetközi hírnevet zongoraversenyével ért el 1937-ben, ezt 1940-ben David Ojsztrah számára írott Hegedűversenye követte.
A lelkes kommunista és ugyanolyan lelkes örmény nacionalista Hacsaturján (aki 1938-ban poémát írt Sztálinról, 1948-ban pedig Gyászéneket Lenin emlékére) az októberi forradalom harmincadik évfordulójára komponált harmadik szimfóniájával kihívta a párt haragját. 1948-ban - Sosztakovics és Prokofjev mellett - őt is formalizmussal és burzsoá tendenciákkal vádolták meg, s Hacsaturján önkritikára kényszerült. (Sztálin 1953-as halála után nyíltan állást foglalt a határozattal szemben.)
Egyik legismertebb műve, a Gajane című népi tárgyú táncjáték egy kolhozban játszódik, s egyszerre dicsőíti az örménységet és a szövetkezeteket. A zenét később két szvitben dolgozta fel, ezek közül a legismertebb a Kardtánc, az Adagiót pedig Stanley Kubrick használta fel 2001 Űrodüsszeia című filmjében. Másik igen népszerű műve a Spartacus című balett (1956), amely az Onedin család című angol tévésorozat kísérőzenéje volt.
Hacsaturján zenéje az örmény népzenében és ritmusvilágban gyökerezett, illetve a XIX. századi orosz zenei hagyományokat követte. Az ő nevéhez fűződik az örmény himnusz zenéje, szerzett filmzenét (Sztálingrádi csata), s melódiáit felhasználták A bolygó neve halál és a Férfias játékok című hollywoodi produkciókban. Utolsó alkotó korszakában született, 1976-ban befejezett Hősök emlékezete című oratóriumát a Magyar Néphadsereg Művészegyüttesének felkérésére írta Garai Gábor versszövegére.
Hacsaturján 1950-től vezényelt is, utazásai alkalmával megismerkedett többek közt Ernest Hemingway amerikai íróval, Charlie Chaplin filmrendezővel, találkozott Nasszer egyiptomi és Joszip Broz Tito jugoszláv elnökkel. 1954-ben a Szovjetunió népművésze lett, öt évvel később Lenin-díjat kapott, többször vehette át az Állami-díjat, és megkapta a Lenin-rendet.
Aram Hacsaturján egy hónappal 75. születésnapja előtt, 1978. május 1-jén halt meg Moszkvában. Jerevánban temették el, 1998 óta az ő arcképe díszíti az egyik örmény bankjegyet.